在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，如图1，旋转三角尺，
在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，如图1，旋转三角尺，若三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B...
在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，如图1，旋转三角尺，若三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，（1）求证：MA=MB；（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若将三角尺绕点M继续旋转，其直角边与Rt△POQ的直角边的延长线交于点A、B，求证：S△MAB=S△AOB+12S△POQ．
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（1）证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，∵∠O=90°，∠MEO=90°，∠OFM=90°
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴ME=MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，
|
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；
（2）解：有最小值，最小值为4+2
| 2 |
理由如下：根据（1）△AME≌△BMF，
∴AE=BF，
设OA=x，则AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM=
| AE2+ME2 |
| (2?x)2+22 |
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=
| 2 |
