Question

设数列{an}满足an=2an-1+1（n≥2），且a1=1，bn=log2（an+1）（1）证明：数列{an+1}为等比数列；（2）求

设数列{an}满足an=2an-1+1（n≥2），且a1=1，bn=log2（an+1）（1）证明：数列{an+1}为等比数列；（2）求数列{1bnbn+2}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）证明：因为a_n=2a_n-1+1（n≥2），所以a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
所以数列{a_n+1}是公比为2的等比数列．
（2）因为数列{a_n+1}是首项为a₁+1=2，公比为2的等比数列，
所以a_n+1=2?2^n-1=2ⁿ，所以b_n=log₂（a_n+1）=n．
所以

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

?

1

n+2

）．
所以S_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

n?1

-

1

n+1

）+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

4n2+12n+8

．