Question

高中数学数列问题 谢谢！

Answer 1

答案
解：（1）∵Sn= 1 2 （an2+n），
∴当n=1时，a1= 1 2 a12+ 1 2 ，
解得a1=1；
当n≥2时，Sn-1= 1 2 （an-12+n-1），
∴an= 1 2 （an2-an-12）+ 1 2 ，
∴an-12=(an-1)2，
∴an-1=an-1或an-1=1-an，n≥2．
∵数列{an}为单调递增数列，且a1=1，
∴an-an-1=1，
∴数列{an}为首项是1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）∵an=n，cn=
1 a
2
n+1
-1         n为奇数 3×2an-1+1   n为偶数 =
1 (n+1)2-1 ，n为奇数 3×2n-1+1，n为偶数 =
1 2 ( 1 n - 1 n+2 )，n为奇数 3×2n-1+1，n为偶数 ，
∴T20=（c1+c3+…+c19）+（c2+c4+…+c20）
= 1 2 [（1- 1 3 ）+（ 1 3 - 1 5 ）+…+（ 1 19 - 1 21 ）]+3（2+23+…+219）+10
= 10 21 +3• 2(1-410) 1-4 +10
=221+8 10 21 ．
解析
（1）依题意，可求得a1=1，继而可证数列{an}为首项是1，公差为1的等差数列，于是可求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）知an=n，于是可得cn=
1 2 ( 1 n - 1 n+2 )，n为奇数 3×2n-1+1，n为偶数 ，利用分组求和法即可求得数列{cn}的前20项和T20．
本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定，考查分组求和的应用，突出裂项法与等比数列的公式法求和的综合应用，属于难题．