Question

OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。（1）如图

OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的关系式；（2）如图②在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E′；①求折痕AD所在直线的关系式；②再作E′F∥AB，交AD于点F，若抛物线y=- x 2 +h过点F，求此抛物线的关系式，并判断它与直线AD的交点的个数；（3）如图③，一般地，在OC、OA上选取适当的D′，G′，使纸片沿D′G′翻折后，点O落在BC边上，记为E″，请你猜想：折痕D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。

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Answer 1

解：（1）由折法知，四边形OCEG是正方形， ∴OG=OC=6， ∴G（6，0），C（0，6）， 设直线CG的关系式为y=kx+b，则0=6k+b，6=0+b， ∴k=-1，b=6， ∴直线CG的关系式为y=-x+6； （2）①Rt△ABE′中，S 2 =（6-S） 2 +2 2 ， ∴S= ，则D（0， ）， 设直线AD：y=k′x+ ，由于它过A（10，0）， ∴k′=- ， ∴直线AD：y=- x+ ； ②∵E′F∥AB，E′（2，6）， ∴设F（2，y F ）， ∵F在AD上， ∴y F =- ， 又∵F（2， ）在抛物线上， ∴ ×2 2 +h， ∴h=3， ∴抛物线的关系式为y=- x 2 +3， 将y=- x+ 代入y=- x 2 +3， 得 ， ∵ ， ∴直线AD与抛物线只有一个交点； （3）可以猜想：（a）折痕所在直线与抛物线y=- x 2 +3，得- x 2 +x-3=0， ∵ ， ∴折痕CG所在直线的确与抛物线y=- x 2 +3只有一个交点，或（b）在题图①中，D′即C，E″即E，G′即G，交点F′也为G（6，0）， ∵当x=6时，y=- x 2 +3=- ×6 2 +3=0， ∴G点在这条抛物线上。

Answer 2

如图，正方形OABC的边长为1，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2(a<0)的图像上，a的值为？