AE是△ABC的角平分线，D是AB上一点，∠ACD=∠B，CD和AE交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接EG．（1）
AE是△ABC的角平分线，D是AB上一点，∠ACD=∠B，CD和AE交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接EG．（1）判断四边形CEGF是什么四边形，说明理由；（...
AE是△ABC的角平分线，D是AB上一点，∠ACD=∠B，CD和AE交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接EG．（1）判断四边形CEGF是什么四边形，说明理由；（2）如果△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，求△ABC和四边形CEGF的面积的比．
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（1）四边形CEGF为菱形．
证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠GAF，
∵FG∥BC，
∴∠B=∠AGF，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACF=∠AGF，
∴在△AFC和△AFG中，
，
∴△AFC≌△AFG（AAS），
∴CF=GF，∠CFA=∠GFA，
∴∠CFE=∠GFE，
∵在△CFE和△GFE中，
，
∴△CFE≌△GFE（SAS），
∴∠FCE=∠FGE，∠CFE=∠GFE，∠CEF=∠GEF，
∴∠CFG=∠CEG，
∴四边形CFGE为平行四边形，
∵CF=FG，
∴四边形CEGF为菱形．
（2）解：作GH⊥BC于点H，
∴S△GEB=BE?GH?
，S菱形CFGE=CE?GH，
∵△ABC∽△GEB，且相似比为2：1，
∴BE：AB=1：2，
∴S△ABC：S△GEB=4：1，
∴S△ABC=4S△GEB=4?BE?GH?
=2BE?GH，
设BE=a，CE=EG=b，则a＞b，
∵△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，
∴
=
=
=
，
∴AB=2a，AC=2b=AG，BC=BE+EC=a+b，
∴BG=2a-2b，
∴
=
∴5b-3a=0，即a=
b，即BE=
b，
∴
证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠GAF，
∵FG∥BC，
∴∠B=∠AGF，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACF=∠AGF，
∴在△AFC和△AFG中，
|
∴△AFC≌△AFG（AAS），
∴CF=GF，∠CFA=∠GFA，
∴∠CFE=∠GFE，
∵在△CFE和△GFE中，
|
∴△CFE≌△GFE（SAS），
∴∠FCE=∠FGE，∠CFE=∠GFE，∠CEF=∠GEF，
∴∠CFG=∠CEG，
∴四边形CFGE为平行四边形，
∵CF=FG，
∴四边形CEGF为菱形．
（2）解：作GH⊥BC于点H，
∴S△GEB=BE?GH?
| 1 |
| 2 |
∵△ABC∽△GEB，且相似比为2：1，
∴BE：AB=1：2，
∴S△ABC：S△GEB=4：1，
∴S△ABC=4S△GEB=4?BE?GH?
| 1 |
| 2 |
设BE=a，CE=EG=b，则a＞b，
∵△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，
∴
| BE |
| AB |
| EG |
| AC |
| GB |
| CB |
| 1 |
| 2 |
∴AB=2a，AC=2b=AG，BC=BE+EC=a+b，
∴BG=2a-2b，
∴
| 2a?2b |
| a+b |
| 1 |
| 2 |
∴5b-3a=0，即a=
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴
| S△ABC | |
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