如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，AB=2，E为PC的中点，DE=2，PC=4，直线DE与平面P
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，AB=2，E为PC的中点，DE=2，PC=4，直线DE与平面PAC所成角为45°．（1）求证：PA⊥...
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，AB=2，E为PC的中点，DE=2，PC=4，直线DE与平面PAC所成角为45°．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角E-PD-B的平面角的大小．
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解答：（1）证明：连接AC，BD，相交于O，连接OE
设点D到面PAC的距离为h，则直线DE与平面PAC所成角的正弦值为sin45°=
=
，∴h=1
∵底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，AB=2，∴DO=1
∴DO⊥平面PAC
∴DO⊥OE，且OE=
=1
∵CO=
AC=
，∴OE2+OC2=CE2
∴OC⊥OE
∵OC∩DO=O，∴OE⊥平面ABCD
∵OE∥PA，∴PA⊥平面ABCD；
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（
，0，0），B（0，1，0），C（-
，0，0），D（0，-1，0），P（
，0，2），E（0，0，1）
设平面PDE的一个法向量为
=(x，y，z)，则
，∴
∴取
=(
，3，-3)
设平面PBD的一个法向量为
=(x′，y′，z′)，则
，∴
∴取
=(2
，0，-3)
∴cos＜
，
＞=
设点D到面PAC的距离为h，则直线DE与平面PAC所成角的正弦值为sin45°=
| h |
| DE |
| h | ||
|
∵底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，AB=2，∴DO=1
∴DO⊥平面PAC
∴DO⊥OE，且OE=
| DE2-DO2 |
∵CO=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴OC⊥OE
∵OC∩DO=O，∴OE⊥平面ABCD
∵OE∥PA，∴PA⊥平面ABCD；
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（
| 3 |
| 3 |
| 3 |
设平面PDE的一个法向量为
| n |
|
|
∴取
| n |
| 3 |
设平面PBD的一个法向量为
| m |
|
|
∴取
| m |
| 3 |
∴cos＜
| n |
| m |
