Question

（2014?江苏模拟）如图，点P在△ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α．（1）试用α表示AP的长；

（2014?江苏模拟）如图，点P在△ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α．（1）试用α表示AP的长；（2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时α的值．

Answer 1

（1）△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π-α，
由余弦定理得，AC²=2²+3²-2×2×3cosα，①
AC²=AP²+2²-2×AP×2cos（π-α），②
由①②得：AP²+4APcosα+12cosα-9=0，α∈（0，π），
解得：AP=3-4cosα；
（2）∵AP=3-4cosα，α∈（0，π），
∴S_{四边形ABCP}=S_△ABC-S_△APC
=

1

2

×2×3sinα-

1

2

×2×APsin（π-α）
=3sinα-（3-4cosα）sinα
=4sinα?cosα=2sin2α，α∈（0，π），
则当α=

π

4

时，S_max=2．