Question

已知集合P= {x| 1 2 ≤x≤2} ，y=log 2 （ax 2 -2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠?，求实数a的

已知集合P= {x| 1 2 ≤x≤2} ，y=log 2 （ax 2 -2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠?，求实数a的取值范围；（2）若方程 lo g 2 (a x 2 -2x+2)=2在[ 1 2 ，2]内有解 ，求实数a的取值的取值范围．

Answer 1

（1）由已知Q={x|ax 2 -2x+2＞0}，若P∩Q≠?， 则说明在 [ 1 2 ，2] 内至少有一个x值，使不等式ax 2 -2x+2＞0，即， 在 [ 1 2 ，2]内至少有一个x值，使a＞ 2 x - 2 x 2 成立，令u= 2 x - 2 x 2 ，则只需a＞ u min ． 又u=-2( 1 x - 1 2 ) 2 + 1 2 ，当x∈[ 1 2 ，2]时， 1 x ∈[ 1 2 ，2]，从而u∈[-4， 1 2 ] ∴a的取值范围是a＞-4； （2）∵方程 lo g 2 (a x 2 -2x+2)=2在[ 1 2 ，2]内有解 ， ∴ a x 2 -2x+2=4即a x 2 -2x-2=0在[ 1 2 ，2]内有解，分离a与x，得 a= 2 x + 2 x 2 =2( 1 x + 1 2 ) 2 - 1 2 ，在[ 1 2 ，2]上有x的值，使上式恒成立 ∵ 3 2 ≤2( 1 x + 1 2 ) 2 - 1 2 ≤12 ∴ 3 2 ≤a≤12，即a的取值范围是[ 3 2 ，12] ．