Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．（Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；（Ⅱ

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．（Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；（Ⅱ）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2；（Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、BC相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On-1均与AB边相切，求rn．

Answer 1

解：（I）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10．
如图1，设⊙O₁与Rt△ABC的边AB，衡做圆BC，CA分别切于点D，E，F．
连接O₁D，O₁E，O₁F，AO₁，BO₁，CO₁．
于是O₁D⊥AB，O₁E⊥BC，O₁F⊥AC．
S△AO1C＝

1

2

AC?O1F＝

1

2

AC?r1＝3r1，S△BO1C＝胡闷

1

2

BC?O1E＝

1

2

BC?r1＝4r1，S△AO1B＝

1

2

AB?O1D＝

1

2

AB?r1＝5r1，S△ABC＝

1

2

AC?BC＝24．
又∵S△ABC＝S△AO1C+S△BO1C+S△AO1B，
∴24=3r₁+4r₁+5r₁，
∴r₁=2．

（II）如图2，连接AO₁，BO₂，CO₁，CO₂，O₁O₂，则
S△AO1C＝

1

2

AC?r2＝3r2，S△BO2C＝

1

2

BC?r2＝4r2．
∵等圆⊙O₁，⊙O₂外切，
∴O₁O₂=2r₂，且咐塌O₁O₂∥AB．
过点C作CM⊥AB于点M，交O₁O₂于点N，则
CM＝

AC?BC

AB

＝

24

5

，CN＝CM?r2＝

24

5

?r2．
∴S△C