Question

已知数列{an}，an＞0，其前n项和Sn满足Sn=12(an?1)(an+2)，其中n∈N*．（1）求证；数列{an}为等差数列，

已知数列{an}，an＞0，其前n项和Sn满足Sn=12(an?1)(an+2)，其中n∈N*．（1）求证；数列{an}为等差数列，并求其通项公式；（2）设bn=an?2-n，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn＜3；（3）设cn=4n+（-1）n-1λ?2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

Answer 1

解答：（1）证明：当n=1时，由S_n=

1

2

(an?1)(an+2)，得
2a1＝a12+a1?2，解得a₁=2；
当n≥2时，2Sn＝an2+an?2，
2Sn?1＝an?12+an?1?2，
作差得：2an＝an2+an?an?12?an?1，
（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴数列{a_n}为等差数列，首项为2，公差为1，
则a_n=2+1×（n-1）=n+1；
（2）证明：b_n=a_n?2^-n=

n+1

2n

，
Tn＝

2

21

+

3

22

+…+

n+1

2n

，

1

2

Tn＝

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，
作差得：

1

2

Tn＝1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

?

n+1

2n+1

=1+

1 4 ? 1 2n+1

1? 1 2

?

n+1

2n+1

．
∴Tn＝3?

n+3

2n

＜3；
（3）解：由4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ?2ⁿ⁺²＞4ⁿ+（-1）^n-1λ?2ⁿ⁺¹，
得3?4ⁿ+（-1）ⁿλ?2ⁿ⁺²+（-1）ⁿλ?2ⁿ⁺¹＞0，
即3?4ⁿ+（-1）ⁿλ?2ⁿ⁺¹×3＞0，
2^n-1+（-1）ⁿλ＞0，
当n为奇数时，λ＜2^n-1，∴λ＜1；
当n为偶数时，λ＞-2^n-1，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，
又λ为非零整数，∴λ=-1．