Question

（2013?松江区二模）如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，联结

（2013?松江区二模）如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．（1）求证：FC⊥BC；（2）如果BD=AC，求证：CD=CE．

Answer 1

解答：证明：（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°=∠BAC，
∴∠FAD-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠FAC=∠BAD，
在△ABD和△ACF中

AB＝AC ∠BAD＝∠FAC AD＝AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠B=∠FCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，
∴FC⊥BC．

（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD=AC，
∴AC=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=EF，∠DAF=∠EFA=90°，
∴∠DAF-∠CAF=∠EFA-∠CFA，
∴∠DAC=∠EFC，
在△DAC和△EFC中

AD＝EF ∠DAC＝∠EFC AC＝CF

，
∴△DAC≌△EFC（SAS），
∴CD=CE．