Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c∈R），且同时满足下列条件：①f（-1）=0；②对任意实数x

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c∈R），且同时满足下列条件：①f（-1）=0；②对任意实数x，都有f（x）-x≥0；③当x∈（0，2）时，有f（x）≤（x+12）2．（1）求f（1）；（2）求a，b，c的值；（3）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由f（-1）=0，得a-b+c=0，①
令x=1，有f（1）-1≥0和f（1）≤（

1+1

2

）²=1，
∴f（1）=1．
（2）由f（1）=1得a+b+c=1②
联立①②可得b=a+c=

1

2

，
由题意知，对任意实数x，都有f（x）-x≥0，即ax²+（a+c）x+c-x≥0，
即ax²-

1

2

x+c≥0对任意实数x恒成立，于是

a＞0 △≤0

，即

a＞0 1 4 ?4a≤0

，
∵c＝

1

2

?a，
∴

a＞0 1 4 ?2a+4a2≤0

?

a＞0 (2a? 1 2 )2≤0

，
∴2a?

1

2

＝0，∴a＝

1

4

∴c＝

1

2

?a＝

1

4

，
∴a=c=

1

4

，b=

1

2

．
（3）由（2）得：g（x）=f（x）-mx=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]
此抛物线的对称轴方程为x＝?

2?4m

2

∵x∈[-1，1]时，g（x）是单调的，
∴|-

2?4m

2

|≥1，解得m≤0或m≥1．
∴m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．