Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又∠PDA为45°（1）求证：AF

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又∠PDA为45°（1）求证：AF ∥ 平面PEC（2）求证：平面PEC⊥平面PCD．

Answer 1

证明（1）取PC中点G，连接EG，FG， ∵F为PD的中点，∴GF ∥ CD且GF= 1 2 CD ∵ABCD是矩形，又E为AB中点，∴AE ∥ CD且AE= 1 2 CD， ∴AE ∥ GF且AE=GF∴四边形AEGF为平行四边形 ∴AF ∥ GE，且AF?平面PEC，GE?平面PEC， ∴AF ∥ 平面PEC． （2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD， ∵AF?平面PAD，∴CD⊥AF， ∵∠PDA=45°∴F为Rt△PAD斜边PD的中点，∴AF⊥PD， 又∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD， 由（1）知AF ∥ EG．∴EG⊥平面PCD， 又∵EG?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．