Question

已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，设集合A={（an，Snn）|n∈N*}

已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，设集合A={（an，Snn）|n∈N*}，B={（x，y）|14x2-y2=1，x，y∈R}．试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；（2）A∩B至多有一个元素；（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠?．

Answer 1

（1）在等差数列{a_n}中，对一切n∈N^*，有S_n=

n(a1+an)

2

，则

sn

n

＝

1

2

(a1+an)
这表明点（a_n，

sn

n

）适合方程y=

1

2

（x+a₁），
于是点（a_n，

sn

n

）均在直线y=

1

2

x+

1

2

a₁上．
（2）设（x，y）∈A∩B，
则x，y是方程组

y＝ 1 2 x+ 1 2 a1 1 4 x2?y2 ＝1

的解，
由方程组消去y得2a₁x+a₁²=-4，
当a₁=0时，方程2a₁x+a₁²=-4无解，
此时A∩B=?；
当a₁≠0时，
方程2a₁x+a₁²=-4只有一个解x=

?4?a12

2a1

此时，方程组只有一解，
故上述方程组至多有解

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