Question

如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L．导轨上端接有一平行板电容器，电容为C；导轨

如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L．导轨上端接有一平行板电容器，电容为C；导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g．忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：（1）静止释放时金属棒的加速度；（2）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；（3）金属棒的速度大小随时间变化的关系．[提示：△t时间内流经金属棒的电荷量为△Q，也是平行板电容器极板增加的电荷量]．

Answer 1

（1）、（3）设金属棒的速度大小为v时，经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，
金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为 F=BLi
设在时间间隔（t，t+△t ）内流经金属棒的电荷量为△Q，
按定义有：i=

△Q

△t

，△Q也是平行板电容器极板在时间间隔（t，t+△t ）内增加的电荷量，
由上式可得，△v为金属棒的速度变化量，
按加速度的定义有：a=

△v

△t

金属棒所受到的摩擦力方向沿导轨斜面向上，大小为：f=μN，式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，
有 N=mgcosθ
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，
设其大小为a，根据牛顿第二定律有：mgsinθ-F-f=ma，
联立上此式可得：a=

m(sinθ?μcosθ)g

m+B2L2C

由题意可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒的速度大小为 v=at=

m(sinθ?μcosθ)gt

m+B2L2C

（2）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E=BLv，
平行板电容器两极板之间的电势差为U=E，
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，
按定义有C=

Q

U

，
联立可得，Q=CBLv
答：（1）静止释放时金属棒的加速度为

m(sinθ?μcosθ)g

m+B2L2C

；
（2）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系为Q=CBLv；
（3）金属棒的速度大小随时间变化的关系为v=

m(sinθ?μcosθ)gt

m+B2L2C

．