Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinB+3cosB＝3，a＝1．（I）求角B的大小；（II）若b

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinB+3cosB＝3，a＝1．（I）求角B的大小；（II）若b是a和c的等比中项，求△ABC的面积．

Answer 1

（I）由sinB+

3

cosB＝

3

，
得sin(B+

π

3

)＝

3

2

，
由B∈（0，π）得B+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，故B+

π

3

＝

2π

3

，
得B＝

π

3

．
（II）由b是a和c的等比中项得b²=ac
又由余弦定理得b²=a²+c²-2ac?cosB=a²+c²-2ac?cos

π

3

=a²+c²-ac，
故ac=a²+c²-ac，得（a-c）²=0，得a=c=1，
∴b=

ac

=1
故△ABC为正三角形
故S△ABC＝

3

4

．