Question

如图，在长方体ABCD一A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 =2，AD=3，E为CD中点，三棱 锥A 1 -AB 1 E的体积是6．（1

如图，在长方体ABCD一A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 =2，AD=3，E为CD中点，三棱 锥A 1 -AB 1 E的体积是6．（1）设P是棱BB 1 的中点，证明：CP ∥ 平面AEB 1 ；（2）求AB的长；（3）求二面角B-AB 1 -E的余弦值．

Answer 1

（1）证明：取AB 1 的中点M，连结PM，ME． 则PM ∥ BA ∥ CE， PM= 1 2 AB=CE ． 即四边形PCEM是平行四边形，所以PC ∥ EM． 又EM?平面AEB 1 ，PC?平面AEB 1 ． ∴CP ∥ 平面AEB 1 ； （2）由题意 V A 1 -A B 1 E = V E-A B 1 A 1 ． 点E到平面AB 1 A 1 的距离是AD=3， S △A B 1 A 1 = 1 2 ?AB?A A 1 = 1 2 AB?2=AB ． 所以 1 3 ?3?AB=6 ，即AB=6； （3）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA 1 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz． 则A（0，0，0），B 1 （6，0，2），E（3，3，0）， A B 1 =(6，0，2)， AE =(3，3，0) ． 设平面AB 1 E的法向量为 n =(x，y，z) ． 由 n ? A B 1 =0 n ? AE =0 ，得 6x+2z=0 3x+3y=0 ，取x=1，得y=-1，z=-3． 所以 n =(1，-1，-3) ． 由平面ABB 1 的一个法向量为 m =(0，1，0) ． 并设二面角B-AB 1 -E的大小为α， 则cosα= |cos＜ m ， n ＞| = | -1 1 2 +(-1 ) 2 + 3 2 ?1 | = 11 11 ． 所以二面角B-AB 1 -E的余弦值为 11 11 ．