Question

（2014?安徽模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过

（2014?安徽模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+12∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn； ④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是______．

Answer 1

如图
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
而∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∴∠1+∠2=90°-

1

2

∠A，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴180°-∠BOC=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=90°+

1

2

∠A，所以①正确；
∵EF∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
而∠1=∠EBO，∠2=∠FCO，
∴∠EBO=∠3，∠4=∠FCO，
∴EB=EO，FC=FO，
∴BE+FC=EF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，所以②正确；
连OA，过O作OG⊥AE于G，如图，
∵点O为△ABC的内心，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m，
∴S_△AEF=S_△OAE+S_△OAF=

1

2

AE?m+

1

2

AF?m=

1

2

（AE+AF）?m=

1

2

mn，所以③不正确；
∵EB=EO，FC=FO，
若EF是△ABC的中位线，则EB=AE，FC=AF，
∴AE=EO，AF=FO，
∴AE+AF=EO+FO=EF，这不符合三角形三边的关系，所以④不正确．
故答案为①②．