Question

高二数学 一圆锥曲线题，高分等！

已知一椭圆（标准方程，手机不好编辑）交x正半轴于A点，椭圆上总有一点P使得AP垂直OP（向量），求椭圆的离心率范围。 求详解。急！谢谢。

Answer 1

我不动解析几何4年了，随便解解，错了不要怪我。

设P点坐标（acos(t),bsin(t)）满足椭圆标准方程，t为角度变量。条件垂直转化为斜率方程
Kop*Kap=-1；
所以(bsin(t)/acos(t))*(bsin(t)/(acos(t)-a))=-1
上式移项:(2表示平方)
b2*sin2(t)+a2*cos2(t)-a2*cos(t) = 0,也就是
(a2-b2)*cos2(t)-a2*cos(t)+b2=0,
将cos（t）当作变量z，上式转化为一元二次方程
(a2-b2)*z-a2*z+b2=0
判别式可配方恒非负。
求得z的解为
z=1
或z=b2/(a2-b2)。z>0,这说明P在y轴右侧，
偏心角t的余弦值绝对值小于等于1，所以z<=1
上式得出关系2*b2<=a2
得出c/a<=二分之根号二
其中等号成立条件当且仅当OP与OA重合，不知道算不算正确，姑且舍了吧。所以答案是0到二分之根号二开区间