Question

设Xn=1+1/√2+…+1/√n-2√n.证明Xn收敛

Answer 1

先用数归证1<xn<=2 n=1显然成立 假设n=k成立 则1<xk<=2 n=k+1 x(k+1)=1/2(xk+1/xk) 因为1<者物宴xk<=2 1/蚂橡2<1/xk<=1 1<3/2=(1+1/2)/2<x(k+1)=1/2(xk+1/xk)<=1/2(2+1)=3/2<2 所以对于n=k+1也成立 1<x(k+1)<=2 所以xn是有界数列 下证其单调减 xn+1-xn =1/2(xn+1/xn)-xn =1/2(xn+1/xn-2xn) =1/2(1/xn-xn) =(1-xn^2)/(2xn)<0,因为刚证过xn>1 所以xn是首银一单调有界数列 所以极限必存在（单调有界必有极限） 令n->∞ 极限x=limn->∞ xn满足 x=1/2(x+1/x) 2x=x+1/x x=1/x x^2=1 x=1(舍去负值，因为xn>1) 所以极限为1