Question

高等数学，算积分，求解这个积分

要求至少两种解法，求助！

Answer 1

法1： I = ∫dx/(cosx)^3 = ∫(secx)^3dx
= ∫secxdtanx = secxtanx - ∫secx(tanx)^2dx
= secxtanx - ∫secx[(secx)^2-1]dx
= secxtanx - I +∫secxdx
I = (1/2)secxtanx + (1/2)ln|secx+tanx| + C
法2： I = ∫dx/(cosx)^3 = ∫cosxdx/(cosx)^4
= ∫dsinx/[1-(sinx)^2]^2 令 u= sinx
= ∫du/(1-u^2)^2
= (1/4)∫[1/(1+u)+1/(1-u)+1/(1+u)^2+1/(1-u)^2]du
= (1/4)ln|(1+u)/(1-u)| - (1/4)/(1+u) + (1/4)/(1-u) + C
= (1/2)u/(1-u^2) + (1/4)ln|(1+u)/(1-u)| + C
= (1/2)sinx/(cosx)^2 + (1/4)ln|(1+sinx)/(1-sinx)| + C
= (1/2)tanxsecx + (1/2)ln|secx+tanx| + C

追问

感谢回答！请教一下，这种底下次幂高的三角函数积分还有什么别的思路吗？

追答

还可用半角代换， 令 u = tan(x/2), 不过有点麻烦。
具体题目，具体分析，方法可不同。

Answer 2

=∫(secx)^3dx
=∫secxdtanx
=secxtanx-∫tanxdsecx
=secxtanx-∫secxtan²xdx
=secxtanx-∫secx(sec²x-1)dx
=secxtanx-∫sec³xdx+∫secxdx
=secxtanx-∫sec³xdx+ln|secx+tanx|
则2∫sec³xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|
∫(secx)^3dx=1/2secxtanx+1/2ln|secx+tanx|+C
友情推导一下∫secxdx。按说这个是需要记忆的公式。
∫secxdx
=∫(1/cosx)dx
=∫[cosx/(cosx)^2]dx
=∫[1/1-(sinx)^2]d(sinx)
=(1/2)∫[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]d(sinx)
=(1/2)[-ln|1-sinx|+ln|1+sinx|]+C
=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
=ln|secx+tanx|+C

追问

这个解法我知道的，麻烦再试一下别的解法

另，感谢友情推导

追答

∫[(sinx)^2+cosx)^2]/(cosx)^3dx
=∫(sinx)^2/(cosx)^3dx+∫secxdx
=∫(tanx)^2secxdx+∫secxdx
=∫tanxd(secx)+∫secxdx
=tanxsecx-∫secxd(tanx)+ln|secx+tanx|
=tanxsecx-∫sec³xdx+ln|secx+tanx|
所以：
......

追问

这个不还是刚才的循环积分吗…