Question

求一道关于数学函数的题

Answer 1

(1)
e^3x+e^-3x＞e^(x-1)+e^-(x-1)
令e^x=u>0
u^3+u^-3>u/e+e/u
即u^6+1>u^4/e+eu^2
u^4(u^2-1/e)-e(u^2-1/e)>0
(u^4-e)(u^2-1/e)＞0
(u^2-√e)(u^2+√e)(u-1/√e)(u+1/√e)＞0
(u-e^1/4)(u+e^1/4)(u^2+√e)(u-1/√e)(u+1/√e)>0
根据u的定义，可知u>0，故上式等价于
(u-e^1/4)(u-1/√e)>0
即u>e^1/4或u＜1/√e=e^-1/2
即e^x>e^1/4或e^x<e^-1/2
根据e^x的单调递增性，可知上式等价于
x＞1/4或x<-1/2
(2)
g(x)=|e^x+e^-x-e^-x-1|-m=|e^x-1|-m
当e^x≥1时，g(x)=e^x-(1+m)
令其=0，即e^x=1+m，设解为x1在e^x≥1时有解要求m≥0
当e^x＜1时，g(x)=1-e^x-m
令其=0，即e^x=1-m，设解为x2要求0＜m＜1（因为e^x＞0）
根据题意，g(x)有两个解，所以要求0＜m＜1（m=0时两个解相等，相当于只有一个解，不符合题意）
很明显x1>x2，故a=x2，b=x1

b=x1=ln(1+m)
a=x2=ln(1-m)
a+2b=ln(1-m)+2ln(1+m)=ln(1-m)+ln(1+m)^2=ln[(1-m)(1+m)^2]

根据lnx函数的单调性可知，最大值与求(1-m)(1+m)^2最大值等价。
(1-m)(1+m)^2=(1-m²)(1+m)=1+m-m²-m³
令D(m)=1+m-m²-m³
求导令D'(m)=1-2m-3m²=(1-3m)(1+m)=0，根据m的取值范围可知m=1/3时D'(m)=0
为其最大值点
此时D(m)=1+1/3-1/9-1/27=32/27
即a+2b的最大值为ln(32/27)

Answer 2

解：（I）依题意：e^(3x)+e^(-3x)>e^(x-1)+e^(1-x);
方程两边同时乘以e^(3x),并移项，得：
[e^(2x)]^3-(1/e)[e^(2x)]^2-e*e^(2x)+1=e^(2x)[e^(2x)]^2-e]-(1/e){[e^(2x)]^2-e}
=[e^(2x)+√e][e^(2x)-√e][e^(2x)-1/e]>0;
1、[e^(2x)+√e]>0, [e^(2x)-√e]>0,[e^(2x)-1/e]>0; 2x>1/2,得：x>1/4; 和2x>-1, 则x>-1/2;
解得：x>1/4;
2、[e^(2x)+√e]>0, [e^(2x)-√e]<0,[e^(2x)-1/e]<0; x<1/4; x<-1/2;解得：x<-1/2;
x的取值范围为：x∈(-∞,-1/2) 和x∈(1/4,+∞）。
（II）g(x)=|e^x-1|-m=e^x-(1+m)=0 (e^x>=1,x>=0时)...(1); g(x)=(1-m)-e^x=0(x<0时).....(2)，
由（1）得：e^x=1+m; 方程两边取对数，得：x1=ln(1+m)>=0, 则m>=0;
由（2）得：e^x=1-m, x2=ln(1-m)<0, m<1; 两式比较，a=ln(1-m), b=ln(1+m)
a+2b=ln(1-m)+2ln(1+m)=ln[(1-m^2)(1+m)]=ln(1+m-m^2-m^3)
(a+2b)'=(1-2m-3m^2)/(1+m-m^2-m^3)=0, 即1-2m-3m^2=0;
m^2+(2/3)m-1/3=(m+1/3)^2-1/3-1/9=(m+1/3+2/3)(m+1/3-2/3)=(m+1)(m-1/3)=0
m1=1/3，和m2=-1；
验证：（a+2b)''=[(-2-6m)(1+m-m^2-m^3)-(1-2m-3m^2)^2]/(1+m-m^2-m^3)^2;
代入m2=-1； （a+2b)''=0; 此处为拐点，没有极大值；
代入m1=1/3；(a+2b)''<0, （a+2b)max=ln[1+1/3-(1/3)^2-(1/3)^3]=ln(1+5/27)=ln(32/27)。

Answer 3