Question

高中数列的详细题型及解题技巧

Answer 1

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1
解法：把原递推公式转化为
，利用累加法求解。
例:已知数列
满足
，
，求
。
解：由条件知：
分别令
，代入上式得
个等式累加之，即
所以
，
类型2
解法：把原递推公式转化为
，利用累乘法求解。
例:已知数列
满足
，
，求
。
解：由条件知
，分别令
，代入上式得
个等式累乘之，即
又
，
类型3
（其中p，q均为常数，
）。
例:已知数列
中，
，
，求
.
解法一(归纳法):
解法二（待定系数法）：设递推公式
可以转化为
即
.故递推公式为
,令
，则
,且
.所以
是以
为首项，2为公比的等比数列，则
,所以
.
解法四(作商法):
令
累加得:
类型4
（其中p，q均为常数，
）。
（或
,其中p，q,
r均为常数）
。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以
，得：
引入辅助数列
（其中
），得：
再同类型3求解。
例:已知数列
中，
,
，求
。
解：在
两边乘以
得：
令
，则
,解之得：
所以
类型5
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
，与已知递推式比较，解出
,从而转化为
是公比为
的等比数列。
例:设数列
：
，求
.
解：设
，将
代入递推式，得
…（1）则
,又
，故
代入（1）得
说明：（1）若
为
的二次式，则可设
;(2)本题也可由
,
（
）两式相减得
转化为
求之.
类型6
递推公式为
与
的关系式。(或
)
解法：这种类型一般利用
与
消去
或与
消去
进行求解。
例：已知数列
前n项和
.（1）求
与
的关系；（2）求通项公式
.
解：（1）由
得：
于是
所以
.
（2）应用类型4（
（其中p，q均为常数，
））的方法，上式两边同乘以
得：
由
.于是数列
是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型7
递推公式为
（其中p，q均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为
其中s，t满足
解法二(特征根法)：对于由递推公式
，
给出的数列
，方程
，叫做数列
的特征方程。若
是特征方程的两个根，当
时，数列
的通项为
，其中A，B由
决定（即把
和
，代入
，得到关于A、B的方程组）；当
时，数列
的通项为
，其中A，B由
决定（即把
和
，代入
，得到关于A、B的方程组）。
例:
已知数列
中，
，
，求数列
的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）:由
，得
，且
。则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，于是
。把
代入，得
，
，
，
。把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列
：
，
的特征方程是：
。
,
。又由
，于是
故
类型8
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为
，再利用待定系数法求解。
例：已知数列｛
｝中，
，求数列
解：由
两边取对数得
，
令
，则
，再利用待定系数法解得：
。
类型9
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为
。
例：已知数列｛an｝满足：
，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数：
是等差数列，