Question

2012年河北数学中考倒数第二题

如图，A（-5,0），B（-3,0）。点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°。点P从点Q（4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒。 （1）求点C的坐标 （2）当∠BCP=15°时，求t的值 （3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值

Answer 1

解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=根号
3
，此时t=4+根号3
；
②当点P在点B左侧时
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3根号3
t=3+3根号3
综上，……
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．