Question

初一数轴上的动点问题怎么算

Answer 1

数轴上的动点问题，是七年级非常重要的问题，也是困难题，学生遇上了它就一个字——“晕”．但这个知识点又不得不学，因为这个知识比较综合，也比较抽象，是一类极为常见且重要的综合题，对学生的综合运用知识能力要求较高，涉及到“绝对值的几何意义、数在数轴上的表示、行程问题”等，更是学习“数形结合”思想的第一步．动点问题


必备知识：

1.数轴上两点之间的距离如何表示？

可用绝对值来表示，即两点所表示的数差的绝对值．如，数轴上点A，B所表示的数是a,b，则AB=|a-b|或|b-a|．

2.数轴上一个动点如何字母来表示？

用有理数的加法或减法即可解决，就是起点所表示的数加上或减去动点运动的距离，向正方向用加，负方向用减．如，数轴上点A对应的数为-1，点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间是t，则点P所表示的数是-1+2t．

3.怎样求数轴上任意两点间的线段的中点？

两点所表示的数相加的和除以2，如数轴上的点所表示的数是a,b，则线段AB的中点所表示的数是(a+b)/2.


策略方法：

解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解。

而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路。一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程。


类型1 数轴上的规律探究问题

招数：用由特殊到一般的思想

例1．（2018春鄞州区期末）如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第_____次移动到的点到原点的距离为2018．


分析：本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．

根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．


【解答】：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3=﹣2；

第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6=4；

第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9=﹣5；

第4次从点D向右移动12个单位长度至点E，则点E表示的数为﹣5+12=7；

第5次从点E向左移动15个单位长度至点F，则F表示的数为7﹣15=﹣8；

…；

由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣1/2（3n+1），

当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：1/2（3n+2），

当移动次数为奇数时，﹣1/2（3n+1）=﹣2018，n=1345，

当移动次数为偶数时，1/2（3n+2）=2018，n=4034/3（不合题意）．

故答案为：1345．

感悟：数轴上一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。运用这一特征探究变化规律时，要注意在循环往返运动过程中的方向变化。


类型2 数轴上距离问题

招数：用分类及数形结合思想

例2．（2017秋黄埔区期末）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点；

（1）直接写出点N所对应的数；

（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是多少？

（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？

【分析】本题考查了两点间的距离和数轴．解题时，需要采用“分类讨论”的数学思想．

（1）根据两点间的距离公式即可求解；

（2）分两种情况：①点P在点M的左边；②点P在点N的右边；进行讨论即可求解；

（3）分两种情况：①点P在点Q的左边；②点P在点Q的右边；进行讨论即可求解．


【解答】（1）﹣3+4=1．

故点N所对应的数是1；

（2）（5﹣4）÷2=0.5，

①﹣3﹣0.5=﹣3.5，

②1+0.5=1.5．

故点P所对应的数是﹣3.5或1.5．

（3）①（4+2×5﹣2）÷（3﹣2）

=12÷1

=12（秒），

点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣12×2=﹣37，点Q对应的数是﹣37+2=﹣35；

②（4+2×5+2）÷（3﹣2）

=16÷1

=16（秒）；

点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣16×2=﹣45，点Q对应的数是﹣45﹣2=﹣47．


类型3 数轴上行程问题

招数：方程及分类思想

例3．（2017秋越城区期末）如图1，有A、B两动点在线段MN上各自做不间断往返匀速运动（即只要动点与线段MN的某一端点重合则立即转身以同样的速度向MN的另一端点运动，与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变），已知A的速度为3米/秒，B的速度为2米/秒

（1）已知MN=100米，若B先从点M出发，当MB=5米时A从点M出发，A出发后经过_______秒与B第一次重合；

（2）已知MN=100米，若A、B同时从点M出发，经过_______秒A与B第一次重合；

（3）如图2，若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合于点E，第二次重合于点F，且EF=20米，设MN=s米，列方程求s．


【分析】考查了一元一次方程的应用和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

（1）可设A出发后经过x秒与B第一次重合，根据等量关系：路程差=速度差×时间，列出方程求解即可；

（2）可设经过y秒A与B第一次重合，根据等量关系：路程和=速度和×时间，列出方程求解即可；

（3）由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个MN，第二次重合共走了4个MN，可得ME=2/(3+2)×2MN=4/5MN，MF=2MN﹣2/(3+2)×4MN=2/5MN，根据EF=20米，列出方程求解即可．


【解答】（1）设A出发后经过x秒与B第一次重合，依题意有

（3﹣2）x=5，解得x=5．

答：A出发后经过5秒与B第一次重合；

（2）设经过y秒A与B第一次重合，依题意有

（3+2）x=100×2，

解得x=40．

答：，经过40秒A与B第一次重合；

（3）由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个MN，第二次重合共走了4个MN，可得ME=2/(3+2)×2MN=4/5MN，MF=2MN﹣2/(3+2)×4MN=2/5MN，

依题意有：4/5s﹣2/5 s=20，

解得s=50．

答：s=50米．

笔者用这道题作为七级上期中考的复习题，特别是第(3)小题，学生要么晕乎乎不会做，要么就是用小学的竞赛的算术法．用小学的竞赛的算术法很多学生都无法理解，但是用“字母来表示动点的问题”来解决，这道题就显得“ So easy”了．


类型4 数轴上新定义问题

招数：转化，方程及分类思想

例4．（2017秋句容市期中）【阅读理解】

点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{ A，B }的奇点．

例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{ A，B }的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B }的奇点，但点D是{B，A}的奇点．

【知识运用】

如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．

（1）数______所表示的点是{ M，N}的奇点；数_______所表示的点是{N，M}的奇点；

（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？




【分析】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．

（1）根据定义发现：奇点表示的数到{ M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；

（2）点A到点B的距离为6，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB=3PA；②PA=3PB；可以得出结论．


【解答】（1）5﹣（﹣3）=8，

8÷（3+1）=2，

5﹣2=3；

﹣3+2=﹣1．

故数3所表示的点是{ M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；

（2）30﹣（﹣50）=80，80÷（3+1）=20，

30﹣20=10，﹣50+20=﹣30．

故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．

故答案为：3；﹣1．


最后总结几句：

第一步，用字母表示动点在数轴上所表示的数；

第二步，根据题目的需要写出有关该字母的代数式；

第三步，根据题目的意思列出方程，并解方程．


数学学习的精髓就是把“复杂问题”简单化，在解决动点问题时，首先遇到的第一个困难就是分析不出动点的运动过程，空间想象力和逻辑分析能力都显得不够，而在解题时，尤其是在考试过程中遇到动点问题，我的建议是多动手，多画几个运动过程中的图形，对于多个不同的运动时刻，按次序画出多个图形进行比较，往往可以看出动点的运动趋势和图形的整体变化过程，从而把握运动的全过程，为分类讨论和计算做好准备。比如我们可以画出特殊时间节点时刻的图形，通过观察比较寻找运动规律，而对动点运动时的一些特殊位置，比如两点重合，或者某一点到达一个特殊位置等，更需要画出图形，这些特殊位置往往是进行分类讨论的关键点。通过画图把握了运动的全过程，然后就可以根据不同情况进行分类讨论，寻找等量关系列方程计算。这一步骤的关键是用代数式表示图形中的各量，主要是图中的各条线段长，最后寻找各线段之间的等量关系，列出方程求解。