Question

求解解线性方程组

解线性方程组
x1-x2+x3+x4=1
2x1+x2+4x3+5x4=6
x1-2x2+3x3+4x4=5
请问如下这么写有错吗？(答案秩=2，但是这么算总是等于3)
1 -1 1 1 1
2 1 4 5 6
1 -2 3 4 5
→第三行减第二行，第一行加到第三行
1 0 1 1 1
1 2 3 4 5
0 1 0 0 0
→
1 0 1 1 1
0 0 2 3 4
0 1 0 0 0

Answer 1

第三行减第二行，第一行加到第三行, 那第一行不变， 为何是：
1 0 1 1 1
1 2 3 4 5
0 1 0 0 0
正确解法：
1 -1 1 1 1
2 1 4 5 6
1 -2 3 4 5
第一行 -2倍， -1 倍 分别加到第二、三行， 初等行变换为
1 -1 1 1 1
0 3 2 3 4
0 -1 2 3 4
是 秩为 3. 可能你抄错题了，请附原题印刷版题图片。

追问

感觉我的题目没抄错🤔，是我对答案的理解有问题吗？😂这个答案我感觉它是说结果的秩和A的秩都是2

追答

那就是题目与答案不符。若将题目改为：
解线性方程组
x1-x2+x3+x4=1
2x1+x2+4x3+5x4=6
x1+2x2+3x3+4x4=5
则增广矩阵 (A, b) 是
1 -1 1 1 1
2 1 4 5 6
1 2 3 4 5
第一行 -2倍， -1 倍 分别加到第二、三行， 初等行变换为
1 -1 1 1 1
0 3 2 3 4
0 3 2 3 4
第二行 -1 倍 加到第三行， 初等行变换为
1 -1 1 1 1
0 3 2 3 4
0 0 0 0 0
第二行乘以 1/3， 然后 加到第一行， 初等行变换为
1 0 5/3 2 7/3
0 1 2/3 1 4/3
0 0 0 0 0
方程组化为
x1+(5/3)x3+2x4=7/3
x2+(2/3)x3+x4=4/3
取 x3=x4 = 0 得特解 (7/3, 4/3, 0, 0)^T;
导出组是
x1=-(5/3)x3-2x4
x2=-(2/3)x3-x4
取 x3=1，x4 = 0 得基础解系 (-5/3, -2/3, 1, 0)^T;
取 x3=0，x4 = 1 得基础解系 (-2, -1, 0, 1)^T;
即得书中结果。

r(A, b) = r(A) = 2
方程组化为