Question

设函数f(x)在[0,1]上可导,且f(1)=2f(0),证存在c属于(0,1)使得(c+1)f'(c)=f(c)

求解

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

f(0)=f(1)=0,
∴必然存在a∈(0,1)使得
f'(a)=0
f(0)=0,f(1/2)=1/2,
∴必然存在b∈(0,1/2)使得
f'(b)=[f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)=1
∴必然存在ξ∈(a,b)或ξ∈(b,a)使得
f'(ξ)=c
即必然存在ξ∈(0,1)使得
f'(ξ)=c

Answer 3

构建函数
F（x）=f(x)/(x+1)
F(0)=f(0)
F(1)=f(0)=F(0)
根据
中值定理
存在c∈（0,1）使得F‘(C)=0
[(c+1)f'(c)-f(c)]/(c+1)²=0
所以
(c+1)f'(c)=f(c)