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科创17
2022-10-20 · TA获得超过5899个赞
知道小有建树答主
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分类: 教育/科学 >> 学习帮助
问题描述:

设函数f(x)在闭区间[0,A]上连续,且f(0)=0.如果f'(x)存在且为增函数(x属于[0,A]).试证:函数F(x)=f(x)/x也是增函数.

解析:

F(x)=f(x)/x

F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2

因为x^2>0

所以要证F(x)为增函数

只需证xf'(x)-f(x)>0

由微分中值定理,任取x属于(0,A),存在e属于(0,x),使得

[f(x)-f(0)]/x=f'(e)

所以

xf'(x)-f(x)=xf'(x)-[f(x)-f(0)]=xf'(x)-xf'(e)

因为f'(x)为增函数

所以xf'(x)-xf'(e)>0

所以F'(x)>0

所以F(x)是增函数
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