Question

求一个正交变换x=Py,将以下二次型f=3x1^2+3x3^2+4x1x2+8x1x3+4x2x3化为标准形？

Answer 1

解: A=
3 2 4
2 0 2
4 2 3
|A-λE| =
3-λ 2 4
2 -λ 2
4 2 3-λ
c1-2c2,c3-2c2
-1-λ 2 0
2+2λ -λ 2+2λ
0 2 -1-λ
r2+2r1+2r3
-1-λ 2 0
0 8-λ 0
0 2 -1-λ
=(-1-λ)^2(8-λ)
所以A的特征值为 λ1=λ2=-1, λ3=8
(A+E)X=0的基础解系为 a1=(1,0,-1)',a2=(1,-4,1)'
(A-8E)X=0的基础解系为 a3=(2,1,2)'
已经正交
单位化:
b1=a1/||a1||=(1/√2)(1,0,-1)'
b2=a2/||a2||=(1/√18)(1,-4,1)'
b3=a3/||a3||=(1/3)(2,1,2)'
令Q=(b1,b2,b3), 则Q为正交矩阵, X=QY 是正交变换
且 f = -y1^2 - y2^2 + 8y3^2.,9,求一个正交变换x=Py,将以下二次型f=3x1^2+3x3^2+4x1x2+8x1x3+4x2x3化为标准形
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