Question

二阶常系数齐次线性微分方程的特解

Answer 1

二阶常系数齐次线性微分方程是指形如 $y''+ay'+by=0$ 的微分方程，其中 $a,b$ 是常数。解这样的微分方程可以分为两个步骤，首先需要求得其特征方程 $r^2+ar+b=0$ 的两个根 $r_1,r_2$，然后根据根的情况确定通解的形式。特解是指满足微分方程但不属于通解的一个解。对于二阶常系数齐次线性微分方程，它的特解可以通过变量代换或者常数变易法来求解。
对于变量代换法，设 $y=uv$，代入微分方程，得到 $u''v+2u'v'+uv''+au'v+auv'+buv=0$，整理后可以得到 $v''u+v'u'+v^2(u''+au'+bu)=0$，这个方程可以被化为形如 $v''+pv'+qv=0$ 的一阶齐次线性微分方程，而后者的通解为 $v=c_1 e^{m_1 x}+c_2 e^{m_2 x}$，其中 $m_1$ 和 $m_2$ 是方程 $m^2+pm+q=0$ 的两个根，$c_1,c_2$ 是任意常数。最终特解可以通过将 $u$ 替换成 $y/v$，然后代入方程 $y=uv$ 中得到。
对于常数变易法，设通解为 $y=c_1 y_1+c_2 y_2$，其中 $y_1$ 和 $y_2$ 是通解中的两个线性无关解，$c_1,c_2$ 是常数。考虑选择 $c_1,c_2$ 作为 $x$ 的函数，即 $c_1=c_1(x)$，$c_2=c_2(x)$，将通解带入微分方程中得到 $c_1''y_1+c_1'y_1'+c_2''y_2+c_2'y_2'+a(c_1'y_1+c_2'y_2)+b(c_1 y_1+c_2 y_2)=0$，然后将方程化为 $c_1''y_1+c_2''y_2+(c_1'y_1'+c_2'y_2'+a(c_1'y_1+c_2'y_2))'+b(c_1 y_1+c_2 y_2)=0$ 的形式，最终得到 $c_1''y_1+c_2''y_2=0$ 这个方程。根据 $y_1$ 和 $y_2$ 的形式，可以得到 $c_1$ 和 $c_2$ 的形式，从而得到特解。
总之，求解二阶常系数齐次线性微分方程的特解，可以使用变量代换法或者常数变易法，具体方法要根据问题的具体形式来确定。