Question

在三角形ABC中AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F.求证AF=EF

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Answer 1

延长AD至M,使 DM=AD,连结DM,CM,

BD=CD,AD=DM,四边形ABMC为平行四边形(对角线互相平分),

BM=AC(对边相等),

AC‖BM,

<CAE=<EMB(内错角相等),

又已知,BE=AC,

∴△EBM是等腰△,

<BEM=<BME,

<BEM=<AEF(对顶角相等),

<EAF=<AEF,

∴△AEF是等腰△,

∴AF=EF.

Answer 2

延长AD到G,使AD=DG
连结BG
得:△DGB
在△ADC,△GDB中
DC=DB(点D为中点)
∠ADC=∠GDB(对顶角)
AD=GD
∴△ADC≌△GDB(SAS)
∴∠ACD=∠GBD
∴AC‖GB(内错角相等,两直线平行)
∴∠DAC=∠DGB(内错角)
∵AC=BG=BE
∴∠DGB=∠DEB(等边对等角)
而∠DEB=∠FEA(对顶角)
∴∠DGB=∠DEB=∠FEA=∠FAE(等量代换)
∴FA=FE(等角对等边)

Answer 3

用梅涅劳斯定理证明：
将AD看作三角形BCF的截线；
CA/AF * FE/EB * BD/DC = 1
由已知CA=BE ; BD=DC
代入得FE/AF=1
AF = EF 得证。

Answer 4

延长BF至G，使EG=BE,则AC=EG，ED为三角形BCG的一条中位线，故ED平行CG
故三角形AEF相似CGF
AF:FC=EF:FG
AF:AC=EF:EG 再有AC=EG
得AF=EF