Question

设函数f(x)=ax^2-2x+2当1<x<4时总有f(x)>0，求a的取值范围

Answer 1

当a=0时，f(x)=-2x+2，为单调递减的直线，此时f(4)=-6<0，显然f(x)在（1，4）区间上不可能恒为正，故a=0不合题意；

当a≠0时，f(x)是抛物线，可求出其对称轴为x=1/a，顶点坐标为(1/a,2-1/a),f(1)=a,f(4)=16a-6
当a<0时，抛物线开口向下，且对称轴位于y轴左侧，可以判断出f(x)的图像在（1，4）区间是单调递减的，且此时f(1)=a<0,可判断当x∈(1,4)时，f(x)必为负，故a<0不合题意；
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，此时需对对称轴与区间(1,4)的位置关系展开讨论：
当1/a≤1，即a≥1时，对称轴位于（1，4）左侧，此时f(x)在(1,4)区间上 是单调递增的，此时f(1)=a≥1>0,显然满足f(x)在（1，4）上恒大于0，故a≥1是满足题意的a的取值范围；
当1/a≥4，即a≤1/4时，对称轴位于(1,4)右侧，此时f(x)在（1，4）区间是单调递减的，此时f(4)=16a-6≤-2<0，显然f(x)不可能在(1,4)上恒大于0，故a≤1/4不合题意；
当1<1/a<4，即1/4<a<1时，对称轴在（1，4）区间内，f(x)的顶点对应其最小值位于（1，4）内，若要求f(x)在（1，4）内恒为正，那么只需满足顶点的函数值(前面已求)：2-1/a>0，即可，解此不等式可得出a>1/2,故1/2<a<1是满足题意的a的取值范围

综上，可以得出满足f(x)在(1,4)上恒大于0的a的取值范围是(1/2,+∞)