Question

已知 圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0

求直线L被园C截得的弦长最短时M的值以及最短长度。

Answer 1

解：直线过定点（3，1）要弦长最短，则弦心距最长，
所以定点和圆心的连线必和直线垂直。
所以（2-1）/（1-3）*(-(2m+1)/(m+1)
所以m=-3/4直线方程为2x-y-5=0
所以弦心距为根号5
所以弦长=2*根号下（25-5）=4根号5

Answer 2

直线与圆交于两点，说明圆心到直线的距离小于半径，运用点到直线距离公式得：
|2m+1+2(m+1)-7m-4|/√[(2m+1)^2+(m+1)^2]＜5
即|-3m-1|/√[(2m+1)^2+(m+1)^2]＜5
两边平方得
(3m+1)^2<25[(2m+1)^2+(m+1)^2
整理得
116m^2+144m+49>0
△＝144^2-4*116*49<0
因此116m^2+144m+49>0恒成立因此不论m取什么实数，直线恒与圆相交于两点
很不错哦，你可以试下
f〃rㄎㄎhpsq∝长srㄎㄎy—∈t濞04717660262011-9-16
2:27:10

Answer 3

（1）直线l：(2m
1)x
(m
1)y-7m-4=0
可化为(2x
y-7)m
(x
y-4)=0
令2x
y-7=0,x
y-4=0
解得x=3,y=1
所以直线恒过定点（3,1）
(2）当直线过圆点时
直线l被圆c截得的弦何时最长
把圆点（1,2）代入直线方程得
m＝-1/3
当直线垂直于由点（1,2）和（3,1）连成的直线时
直线l被圆c截得的弦何时最短
由点（1,2）和（3,1）连成的直线方程可以算出为
y=-1/2x
5/2
因为直线l与它垂直
所以它的斜率为-2
又因为它经过点（3,1）
所以它的方程为y=-2x
7
直线l：(2m
1)x
(m
1)y-7m-4=0
化简得y＝kx
b的形式
然后让k＝2
就可以求出了

Answer 4

你确定你题没抄错吗?
算得数很恶心啊...
根据点到直线距离公式得圆心(1,2)到直线L的距离d=((2m+1)*1+(m+1)*2-7m-4)/√((2m+1)^2+(m+1)^2)=|3m+1|/√(5m^2+6m+2)=√(9m^2+6m+1)/(5m^2+6m+2)
原题义转化为求f(m)=(9m^2+6m+1)/(5m^2+6m+2)在m属于R上的最大值...
到这里已经很难算了,之后再求导,令导数大于零求最大值吧...
求出最大值后和圆半径5用勾股定理求出所截线段的最短长度的一半,再乘以2得最终答案.
一般思路应该是这样的.....
但我后来想了下这道题应该是有简单方法,通过观察直线方程可知直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0恒过点(3,1),而点(3,1)又绝对在圆C内,所以圆心到点(3,1)的距离为上过程所求的d的最大值,即√(1-3)^2+(2-1)^2=√5,所以所截线段最短长度为2*√(5^2-5)=4√5

Answer 5

（1）证：
L:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0
m(2x+y-7)+x+y-4=0
横过定点（x,y）,2x+y-7=0
x+y-4=0
x=3
y=1
（2）只需要圆心C(1,2)到直线距离最远
因为直线过定点A（3,1）直线l与AC成角α，圆心到直线距离d=ACsinα
所以当AC与l垂直时，弦长最短。此时m=-3/4