Question

求圆C:X^2+Y^2-X+2Y=0关于直线l:x-y+1=0对称的圆的方程的过程有点不懂，能讲明白点吗？

希望能将详细点，谢谢！

Answer 1

圆C： x²+y²-x+2y=0可变形为：(x-1/2)²+(y+1)²=5/4
所以已知圆的圆心C(1/2，-1)，半径r=√5/2
在本题中，求一个圆的方程，只须求出其圆心坐标与半径即可。而对称的两圆半径是相等的，所以
所求的圆的半径=已知圆的半径=√5/2，这样半径就解决了，下面只要求出圆心即可。
两圆对称，其圆心也对称，所以未知圆的圆心实际上就是已知圆的圆心C关于直线l的对称点。

未知圆的圆心设为M(xo，yo)，下面列两个方程来求xo和yo，
1、因为点C与点M关于直线l对称，所以直线CM与直线l垂直，所以斜率乘积= -1
[(yo+1)/(xo-1/2)]*1= -1
2、因为点C与点M关于直线l对称，所以线段CM的中点在直线l上。
由中点公式求得线段CM的中点为((xo+0.5)/2，(yo-1)/2)，代入直线l得
[(xo+0.5)/2]-[ (yo-1)/2]+1=0

上面的两个方程联立解得xo= -4，yo=3
从而，所求的对称圆的方程为(x+4)²+(y-3)²=5/4

Answer 2

圆心对称，半径不变。
化为标准式后确定原圆的圆心坐标及半径，设对称后圆心为(x,y)根据垂直斜率相乘为-1及中点在直线上两个关系即可求出，直接写出其方程即可

Answer 3

解:设圆C上任意一点(x1,y1),它关于直线l的对称点为(x2,y2),则
因为[(x1+x2)/2]-[(y1+y2)/2]+1=0 （两个点的中点在直线上）
[(y2-y1)/(x2-x1)]•1=-1 （两个点的连线与直线垂直）
所以x1=y2-1
y1=x2+1
因为x1^2+y1^2-x1+2y1=0（将x1,y1替换为含x2,y2的式子）
所以(y2-1)^2+(x2+1)^2-(y2-1)+2(x2+1)=0
因此对称的圆的方程为:x^2+y^2+4x-3y+5=0 (将x2,y2用常见的x,y来表达）

说明:这是普遍适用的,求关于直线对称的曲线方程的方法,除此之外也可以
先求出对称圆的圆心坐标,再根据半径相等求得方程式。