Question

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,一条准线的方程为x=1,倾斜角为π/4的直线

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,一条准线的方程为x=1,倾斜角为π/4的直线交椭圆于A、B两点，且线段AB的中点为（-1/2,1/4）求椭圆方程

Answer 1

设A（X1,Y1）B（X2,Y2）
椭圆方程为 X^2/a^2+Y^2/b^2=1
将A.B两点坐标带入椭圆方程得
X1^2/a^2+Y1^2/b^2=1
X2^2/a^2+Y2^2/b^2=1
上面两式相减得
（X1^2-X2^2）/a^2 +（Y1^2-Y2^2）/b^2=0
上式平方差展开有(X2+X1)(X2-X1)/a^2+(Y2+Y1)(Y2-Y1)/b^2=0——①
已知AB的中点为（-1/2,1/4）由中点坐标公式
(X1+X2)/2=-1/2算出 (X1+X2)=-1，代入①
(Y2+Y1)/2=1/4算出 (Y2+Y1)=1/2，代入①
之后整理①得到（Y2-Y1）/（X2-X1）=2b^2/a^2——②
因为直线倾斜角为π/4，所以过A.B直线斜率K=(Y2-Y1)/(X2-X1)=1 代入②
最后可得出a^2=2b^2~
结合准线方程X=1即 a^2/c=1及a^2=b^2+c^2
解出a^2=1/2 b^2=1/4
所以椭圆方程为X^2/(1/2)+Y^2/(1/4)=1

只能说成这样了！！不知道有没有算错数，你自己再算下吧！！