1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)如何求和？
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)等于n(n+1)(n+2)/3。
解：令数列an=n*(n+1)，
那么1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)即为数列an前n项和Sn。
又因为an=n*(n+1)=n^2+n，
那么Sn=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)
=1^2+1+2^2+2+3^2+3+...+(n-1)^2+(n-1)+n^2+n
=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
又根据平方和公式1^2+2^2+3^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6可得，
Sn=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
=n*(n+1)*(2n+1)/6+n*(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
即数列anan前n项和Sn=n(n+1)(n+2)/3。
扩展资料：
1、数列的分类
数列可分为有穷数列和无穷数列、周期数列、常数数列等类型。
2、数列的公式
（1）通项公式
数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
例：an=3n+2
（2）递推公式
如果数列an的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例：an=a(n-1)+a(n-2)
参考资料来源：百度百科-数列
解法一：
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)
=⅓×[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
=⅓n(n+1)(n+2)
解法二：
考察一般项第k项，k(k+1)=k²+k
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)
=(1²+2²+3²+...+n²)+(1+2+3+...+n)
=n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2
=[n(n+1)/6](2n+1+3)
=n(n+1)(2n+4)/6
=⅓n(n+1)(n+2)
扩展资料：
数列求和方法
1、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。
2、拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。
3、错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。
4、倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导。
注意事项
1、直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程。
2、重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
3、求和过程中同时要对项数作出准确判断．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论。
重点是怎么求1^2+2^2+……+n^2，这里讲2种方法，设Sn=1^2+2^2+……+n^2。
方法1：
展开成1+2+3+4+5……+n
+2+3+4+5+……+n
3+4+5+……+n
4+5+……+n
……
+n
用求和公式：
(1+n)n/2
+(2+n)(n-1)/2
+……
+(n+n)(n-(n-1))/2
化简=0.5*[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+(n+4)(n-3)+……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*[n^2*n+n*n-(2^2+……+n^2)+（2+3+4+……+n）]=0.5*[n^3+n^2-(Sn-1)+(n+2)(n-1)/2]
这就相当于得到一个关于Sn的方程。
化简一下：
n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3Sn，得
Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n即
1/6*n(n+1)(2n+1)
方法2：
Sn=S(n-1)+n^2
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+n-1/3
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]
即Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
好了！等式左面全是n,右面全是(n-1)，以此递推下去，得
Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6
=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
=S(n-2)-1/3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6
……
=S(1)-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6
=0
所以Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n
通常我们是当成一个等式背下来，再带到要求的数列中去。
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)
=⅓×[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
=⅓n(n+1)(n+2)
解法二：
考察一般项第k项，k(k+1)=k²+k
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)
=(1²+2²+3²+...+n²)+(1+2+3+...+n)
=n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2
=[n(n+1)/6](2n+1+3)
=n(n+1)(2n+4)/6
=⅓n(n+1)(n+2)
总结：
以上运用了两种截然不同的方法求解本题。运用的公式不同，过程不同，结果是一样的。
解法一运用的公式：
n(n+1)=⅓[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
解法二运用的公式：
1+2+...+n=n(n+1)/2
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
中学阶段要熟练掌握需要掌握的公式，以便迅速有效地解题。
n=1,左边=1*2=2
右边=1*(1+1)(1+2)/3=2
假设n=k成立,即
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3
当n=k+1时
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1)+(k+1)(k+2)
=k(k+1)(k+2)/3+(k+1)(k+2)
=(k+1)(k+2)(k/3+1)
=(k+1)(k+2)(k+3)/3
所以命题成立。
故1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
