Question

简便计算：1.（2+1）（2的平方+1）（2的4次方+1）（2的8次方+1）（2的16次方+1）+1

简便计算：1.（2+1）（2的平方+1）（2的4次方+1）（2的8次方+1）（2的16次方+1）+1

2.2008的平方-2007*2009分之2008的平方+4017 （简便计算）

3.（1）计算下列两个数的积，这两个因数的十位上的数字相同，格外上的数字之和为10，你发现结果又什么规律？

53*57，38*32，84*86，71*79

（2）你能用本章所学知识解释这个规律吗？

（3）利用发现的规律直接写出下列各式的结果 58*52=（） 63*67=（） 75的平方=（） 95的平方=（）
数学高手帮忙~~！

Answer 1

总共用到三个公式
(a-b)*(a+b)=a*a-b*b
(a+b)(a+b)=a平方+2ab+b平方
(a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd

1.
把因式前面乘一个（2-1），然后每步把前两个因式乘起来，需要用到第一个公式。
注：下式中用符号^代表乘方，即 2^4 代表 2的4次方。（这也是一个电脑上的常用符号，以后你可能会见到。）
原式=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)+1
=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)+1
=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)+1
=(2^8-1)(2^8+1)(2^16+1)+1
=(2^16-1)(2^16+1)+1
=2^32-1+1
=2^32

2.
先看分母 2008*2008-2007*2009 = 2008*2008-(2008-1)(2008+1) = 2008*2008-(2008*2008-1) = 1
因为分母是1，所以原式就等于 2008的平方+4017
又因为 4017 =2008*2+1
所以 原式=2008*2008+2008*2+1 = （2008+1）的平方 = 2009的平方，用到第二个公式
如果需要计算2009的平方是多少，可以用
2009的平方 = (2000+9)的平方 = 2000平方 + 2*2000*9 + 9平方 = 4000000+36000+81 = 4036081

3.
我觉得是
53*57 = (50+3)*(50+7) = 50*50 +50*3 +50*7 +3*7 = 50*50 +50*(3+7) +3*7 = 50的平方+50*10+3*7 = 2500+500+21 =3021
所以接下来就是
38*32 = 30的平方 +30*10 +2*8 =900+300+16 = 1216
84*86 = 80的平方 +80*10 +4*6 =6400+800+24 = 7224
71*79 = 70的平方 +70*10 +1*9 =4900+700+9 = 5609
即 等于 十位数字的平方 加上 十位数字乘以10 加上 两个个位数字相乘
(3) 58*52 = 2500 +500 +16 = 3016
63*67 = 3600 +600+ 21 = 4221
75的平方 = 75*75 = 70*70 +70*10 +5*5 = 4900+700+25=5623
95的平方 = 95*95 =8100 +900 +25 = 9025
也可以= (100-5)(100-5) = 100*100 -10*100+25 =10000-1000+25=9025

Answer 2

1.（2+1）（2的平方+1）（2的4次方+1）（2的8次方+1）（2的16次方+1）+1
=(2-1)（2+1）（2的平方+1）（2的4次方+1）（2的8次方+1）（2的16次方+1）+1
=(2^2-2)(2^2+1)（2的4次方+1）（2的8次方+1）（2的16次方+1）+1
=(2^8-1）（2的8次方+1）（2的16次方+1）+1
=2^16-1+1
=2^16