Question

一道大学力学题

质量为M的，长为l的均质细杆可绕水平光滑的轴线O转动，最初杆静止于竖直方向，一弹片质量为m，以水平速度V射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求最大摆角。
解：此时角动量守恒，mvl=ml²ω+1/3Ml²ω
...

请问上式中的M为什么要乘以1/3？

Answer 1

这是根据刚体转动惯量的定义计算出来的。因为细杆质量为M，长为l，质量均匀分布，则其线密度为m/l，各小段的转动惯量由于距轴心的距离不同而不同，需要积分，从而得到细杆对转轴的转动惯量为(积分上限l下限0)：
I=∫(M/l)r²dr=Ml²/3 .

而弹片在细杆的一端，相对于转轴的转动惯量为
i=ml².
细杆和子弹的和角动量为
J=(I+i)ω=ml²ω+1/3Ml²ω.
这等于子弹射到细杆上时的初角动量mvl，故根据角动量守恒，mvl=ml²ω+1/3Ml²ω.
据此可求出细杆和子弹系统的初角速度: ω=3mv/(3m+M)l.
和初动能: Ek=(I+i)ω²/2=Jω/2=1.5m²v²/(3m+M).
当系统运动到最大摆角时，初动能全部转化为重力势消瞎能。设最大摆角为θ，拿老空则
细杆重心提升 H=0.5l*(1-cosθ)，含历势能增加 Ep1=MgH=0.5Mgl*(1-cosθ)；
子弹重心提升 h=l*(1-cosθ)，势能增加 Ep2=mgh=mgl*(1-cosθ)；
于是根据系统机械能守恒，Ek=Ep1+Ep2，即
1.5m²v²/(3m+M)=(0.5M+m)gl*(1-cosθ).
可解得：
cosθ=1-3m²v²/[(3m+M)(M+2m)gl].

也可利用重力矩做负功使初动能全部转化为重力势能而达到最大摆角θ来求。设任一时刻的摆角为θ'，则系统重力矩为
M=mgl*sinθ'+∫(M/l)gr*sinθ'dr=mgl*sinsθ'+0.5Mgl*sinsθ'.
重力矩做功为(积分上限θ下限0)
W=-∫Mdθ=-∫(m+0.5M)gl*sinθ'dθ'=-(0.5M+m)gl*(1-cosθ).
这等于系统动能的改变量，即
W=0-Ek=-1.5m²v²/(3m+M).
由以上可解得：
cosθ=1-3m²v²/[(3m+M)(M+2m)gl].

当 cosθ=1-3m²v²/[(3m+M)(M+2m)gl]>0 时，θ<π/2；
当 cosθ=1-3m²v²/[(3m+M)(M+2m)gl]≤0 时，θ≥π/2，此时初速度满足 v²≥(1+M/3m)(2+M/m)gl；
进一步的，当 1-3m²v²/[(3m+M)(M+2m)gl]≤-1 时，θ≥π，此时系统转到最高点时仍具有动能，故将继续转下去，做变速圆周式转动。

Answer 2

ls的很详细了。