Question

如图（1），在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q.

如图（1），在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q.
(1) 试证明：无论点P运动到AB上何处时都有△ADQ≌△ABQ；

Answer 1

证明：
（2）解法一：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的
16时，
过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，
12AD×QE=
16S正方形ABCD=
16×16=
83，
∴QE=
43，
由△DEQ∽△DAP得
QEAP=DEDA，即
43AP=
4-434，
解得AP=2，
∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
16；
解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．
12AD×QE=
16S正方形ABCD=
16×16=
83，
∴QE=
43，
∵点Q在正方形对角线AC上，
∴Q点的坐标为（
43，
43），
∴过点D（0，4），Q（
43，
43）两点的函数关系式为：y=-2x+4，
当y=0时，x=2，
∴P点的坐标为（2，0），
∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
16；
（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①当AD=DQ时，则∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°，P为C点，
②当AQ=DQ时，则∠DAQ=∠ADQ=45°，
∴∠AQD=90°，P为B，
③AD=AQ（P在BC上），
∴CQ=AC-AQ=√2BC-BC=（
2-1）BC
∵AD∥BC
∴
CPCQ=
AQAD=1，
∴CP=CQ=（
2-1）BC=4（
2-1）
综上，P在B点，C点，或在CP=4（
2-1）处，△ADQ是等腰三角形．

Answer 2

证明，设P为AB上任意一点，连结AC PD
在正方形ABCD中，AC为∠DAB的平分线
∴∠DAC=∠BAC
∵ABCD为正方形
∴AD=AB
在△AQD和△AQB中，有
AD=AB ∠DAC=∠BAC AQ=AQ
∴△AQD≌△AQB（SAS）