Question

高中数学空间向量问题

一、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=1/3GD，H为C1G中点
1、求证：EF⊥B1C；
2、求EF与C1G所成角的余弦值；
3、求FH的长

二、棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

三、四棱锥A-BCDE中，底面BCDE是矩形，侧面ABC垂直于底面BCDE，BC=2,CD=根号2,AB=AC。
1、证明AD⊥CE
2、设侧面ABC为等边三角形，球二面角C-AD-E的大小

最好都能用到空间向量。

Answer 1

1、以DA、DC、DD1为x,y,z轴建系。
设正方体的棱长为1，则E(0,0,1/2),G(0,3/4,0),H(0,7/8,1/2),F(1/2,1/2,0)
（1）EF向量为(1/2,1/2,-1/2),B1C向量为(-1,0,-1)
两个向量的内积为0，所以垂直。
（2）EF向量为(1/2,1/2,-1/2)，C1G向量为(0,-1/4,-1)
向量成角的余弦值=内积/模长的积=（3/8）/（根号51/8）=根号51/17
所求为：根号51/17
（3）F(1/2,1/2,0)，H(0,7/8,1/2），两点间距离公式得：根号41/8
2、与上面相同的方法建系，设P（0,0,z）
所以要求B1D垂直于PA，向量B1D为（-a,-a,-a）,PA为(a,0,-z)
内积为0，解得：z=a，所以存在，就是点D1
3、取BC的中点为O，则AO垂直于底面，以OC、OY（OY平行于CD），OA为x,y,z轴建系，则各点坐标为：A(0,0,z)D(1,根号2，0)，C（1，0，0），E（-1，根号2，0）
所以AD向量与CE向量的内积=0，得证。
（2）由侧面正三角形，则AO=根号3=z
分别计算两个面的法向量，求法向量成角的余弦值（方法与1同）就可以得到了。
给你一个知识点的小结，是我上传的。
http://wenku.baidu.com/view/52496429647d27284b7351c6.html
希望有帮助。