Question

关于微积分

帮忙求一下
∫1/sinx dx
本人初学微积分,解答过程详细些

Answer 1

一楼概念错误！
二楼积分变化得太突然！积分过程有遗漏。解答是对的，结果还可以进一步化简。

本题有很多种积分法，现用两种方法解答如下：

积法一：
∫1/sinx dx
=∫sinx/sin²x dx
=-∫dcosx/sin²x
=-∫dcosx/(1-cos²x)
=-∫dcosx/(1-cosx)(1+cosx)
=-½∫[1/(1+cosx)+1/(1-cosx)]dcosx
=-½∫dcosx/(1+cosx)-½∫dcosx/(1-cosx)
=-½∫d(1+cosx)/(1+cosx)+½∫d(1-cosx/(1-cosx)
=-½ln|1+cosx|+½ln|1-cosx| + C
=½ln|(1-cosx)/(1+cosx)| + C
=½ln|2sin²(½x)/2cos²(½x)| + C
=ln|tan(½x)| + C

积法二：
∫1/sinx dx
=∫1/2sin(½x)cos(½x)dx
=½∫1/sin(½x)cos(½x)dx
=½∫[sin²(½x)+cos²(½x)]/sin(½x)cos(½x)dx
=½∫[tan(½x)+cot(½x)]dx
=½[∫tan(½x)dx+∫cot(½x)dx]
=∫tan(½x)d(½x)+∫cot(½x)d(½x)
=-∫sec(½x)dcos(½x)+∫sin(½x)dsin(½x)
=-ln|cos(½x)|+ln|sin(½x)|+C
=ln|tan(½x)| + C

Answer 2

用分部积分法

Answer 3

∫1/（sinx）dx =∫cscxdx=∫(cscx(cscx-cotx) )/(cscx-cotx)=∫1/((cscx-cotx)d(cscx-cotx)=In|cscx-cotx|+c