Question

一道常微分方程问题

设函数f在[1,＋∞)是连续函数。若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]试求y=f(x)所满足的微分方程，并求微分方程满足条件y(2)=2/9的特解
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我根据体积公式得到方程，再求导以后算到了3f^2(t)=2tf(t)+t^2f'(t),我不知道接下来应该怎么做啊，而且我也不知道我有没有算错。请各位高人解答一下，多谢！

Answer 1

图中所示

Answer 2

π∫(1→t)(f(x))^2dx=π/3*(t^2f(t)-f(1))
所以3(f(t))^2=(t^2f(t))'
令t^2f(t)=u，则f(t)=u/t^2
所以3u^2/t^4=du/dt
du/u^2=3dt/t^4
-1/u=-1/t^3+C
即u=t^2f(t)=1/(1/t^3+C)
令t=2：4*2/9=1/(1/8+C),C=1
所以t^2f(t)=1/(1/t^3+1)=t^3/(t^3+1)
f(t)=t/(t^3+1)