Question

已知函数fx=x-a㏑x在x=1处取得极值，求实数a的值

﹙2﹚若关于fx＋2x＝x²＋b在[1／2,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围？

Answer 1

f‘（x）=1-a/x，因为x=1处取的极值，所以f’（1）=0，解得a=1
经检验，a=1满足题意，所以a=1

令g（x）=fx+2x-x²-b=3x-lnx-x²+b，g‘（x）=1-1/x+2-2x（x＞0）
令g’（x）=0得，x=1/2或1.
∴在[1/2,2]上，当x=1时，g（x）取极大值也是最大值，g（1）=2-b
g（1/2）=1/2+ln2+1-1/4-b=5/4+ln2-b，g（2）=2-ln2-b
由于关于fx＋2x＝x²＋b在[1／2,2]上恰有两不相等实数根，
所以g（1/2）≤0，g（1）＞0，g（2）≤0
所以b取值范围为5/4+ln2≤b＜2