Question

一道级数的证明题

求证级数1/n2^n=ln2(等式前有一个求和符号，并从1到无穷)

Answer 1

为了求出级数的级数和，我们从幂级数 S（x）= ∑x^n/n （n 从 1 到 +∞，|x|＜1）着手进行计算，显然 S（1/2）= ∑1/n2^n 。对 S（x）进行求导运算得 S'（x）= ∑x^n (n 从 0 到 +∞，|x|＜1) = 1/（1-x）（此处是等比级数的求和）。然后将 S'= 1/（1-x）进行积分得 S（x）= - ln（1-x）+ C （C为任意常数），由 S（x）= 0 可得常数 C = 0 ，亦即 S（x）= -ln（1-x）。然后将 x = 1/2 带入式中得 ∑1/n2^n = S（1/2）= -ln（1-1/2）= -ln（1/2）= ln2 ，到此问题解决。

Answer 2

faw