Question

关于泰勒公式展开计算 。o（x）的替换

第二行到第三行怎么变得 详细点

Answer 1

首先要知道，如果一个量是比x^3高阶的无穷小量，那它一定也是比x^2高阶的无穷小量，举一个不是无穷小的例子，比(0,1)^3小的数一定比(0.1)^2小（如0.0001）。本题中第二行，o里面的展开为4x^2-4x^3+x^4，根据刚才的讨论，o(4x^2-4x^3+x^4)=o(x^2)，因为o(x^3)和o(x^4)都可以记为o(x^2)，系数可以省略（即o(kx^n)=o(x^n)，可以直接用高阶无穷小定义证明）。而前面的那些项中，由于忽略比x^2高阶的无穷小，所以展开式中x的次数≤2的那些项都保留（连同系数一起），而次数高于2的那些项，都直接记为o(x^2)，再和前面由o部分得到o(x^2)合并，就写一个o(x^2)即可。

追问

还想问一下 o（4x^2-4x^3+x^4）是可以拆开的吗 也就是可以写成o（4x^2）-o(4x^3)+o(x^2)是吗

追答

可以，这是能用高阶无穷小定义验证的。

Answer 2

无穷小阶数的比较时
(1)0(x^n)+0(x^m)=0(x^k)
k=min{m,n}
(2)0(x^n)*0(x^m)=0(x^(m+n))
所以说第二题是对的。。
泰勒公式展开以后是
1-x-2x^2+0(x^2)-[1-x-x^2+0(x^2)]=
-x^2+0(x^2)
第一题我看了半天还是没看懂，会不会打错了
看到楼下的回答了，lz你打了
a^2＝1/3＋o(1)！！