已知a、b、c是正整数,且b2-4ac是完全平方数,求证:25a+5b+c是合数
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b^2-4ac是完全平方数
由方程一般解的形式可知
方程ax^2+bx+c=0有两个整数解
(因为b为奇数
√b^2-4ac
也为奇数
b为偶数
√b^2-4ac
也为偶数)
则ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
x1
x2都是整埋基数弯盯谨则档
将5带入则25a+5b+c=a(5-x1)(5-x2)
证毕
由方程一般解的形式可知
方程ax^2+bx+c=0有两个整数解
(因为b为奇数
√b^2-4ac
也为奇数
b为偶数
√b^2-4ac
也为偶数)
则ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
x1
x2都是整埋基数弯盯谨则档
将5带入则25a+5b+c=a(5-x1)(5-x2)
证毕
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b^2-4ac是完全平方数
∴√b^2-4ac
是整数
(因神前饥为b为悔此奇数
√b^2-4ac
也为奇数,,b为偶数
√b^2-4ac
也为偶游返数)
则ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
x1
x2都是整数
将5带入则25a+5b+c=a(5-x1)(5-x2)
楼上是对的
∴√b^2-4ac
是整数
(因神前饥为b为悔此奇数
√b^2-4ac
也为奇数,,b为偶数
√b^2-4ac
也为偶游返数)
则ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
x1
x2都是整数
将5带入则25a+5b+c=a(5-x1)(5-x2)
楼上是对的
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证明:
构造函数f(x)ax^2+bx+c,依题意,函明返数与x轴交于x1,x2=-b±√b^2-4ac/2a,为有理数
代入x=5,则f(5)=25a+5b+c=a(5-x1)(5-x2)
∴4af(5)=2a(5-x1)·2a(5-x2)=(10a-2ax1)(10a-2ax2)
∵a、b、c为正整数∴f(5)=25a+5b+c为正整数且f(和坦5)不等于1
若f(5)为质数,则f(5)为(10a-2ax1)或(10a-2ax2)其中一项的因数
不妨令f(5)为(10a-2ax1)的因数,则4a为(10a-2ax2)的倍数
∴4a≥10a-2ax2
由韦达定理,x1+x2=-b/a<0,x1x2=c/a>0
∴x1<0,x2<0
∴4a≥10a-x2>10a,矛盾激棚饥!
∴f(5)不为质数
∴f(5)为合数,即25a+5b+c为合数
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