Question

一道高中数学函数题：设定义域为（0，+∞）的单调函数

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）对任意的x∈（0，﹢∞）都有f[f(x)-log2x]=6，若x0是方程f(x)-f'(x)=4的一个解且x0∈（a，a+1）（a∈N+），则a=
(有一种方法是将（f(x)-log2x）=t，然后呢？）

Answer 1

答：
f(x)是定义在x>0的单调函数
因为：f [f(x)-log2(x) ]=6
所以：f(x)-log2(x)=k为常数
所以：f(x)=k+log2(x)是x>0上的单调递增函数
因为：f(k)=6（代入原来题目条件）
所以：f(k)=k+log2(k)=6
经观察，k=4符合方程的唯一解
所以：f(x)=4+log2(x)

求导：f'(x)=1/(xln2)
代入方程f(x)-f‘(x)=4得：
4+log2(x)-1/(xln2)=4
所以：log2(x)=1/(xln2)=lnx /ln2
所以：xlnx=1
设g(x)=xlnx-1，g'(x)=lnx+1
当0<x<1/e时，g'(x)<0，g(x)单调递减
当x>1/e时，g'(x)>0，g(x)单调递增
所以：在正整数区间（a，a+1）上g(x)单调递增
g(1)=0-1=-1<0
g(2)=2ln2-1=ln4 -1>0
所以：g(1)×g(2)<0
所以：g(x)=xlnx-1的零点在区间（1,2）内
所以：（a，a+1）=（1,2）
所以：a=1