Question

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx在 x=- 2 3 与x=1处都取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx在 x=- 2 3 与x=1处都取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[-2，2]的最大值与最小值．

Answer 1

（1）f（x）=x 3 +ax 2 +bx，f′（x）=3x 2 +2ax+b         由f′（ - 2 3 ）= 12 9 - 4 3 a+b=0 ，f′（1）=3+2a+b=0    得a= - 1 2 ，b=-2                     经检验，a= - 1 2 ，b=-2符合题意 所以，所求的函数解析式为f(x)= x 3 - 1 2 x 2 -2x （2）由（1）得f′（x）=3x 2 -x-2=（3x+2）（x-1）， 列表 x （-2，- 2 3 ） - 2 3 （- 2 3 ，1） 1 （1，2） f′（x） + 0 - 0 + f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 且f(-2)=-6，f(- 2 3 )= 22 27 ，f(1)=- 3 2 ，f(0)=0 所以当x∈[-2，2]时，f(x)max=f(- 2 3 )= 22 27 ，f(x)min=f(-2)-6