Question

已知a＞0，b＞0，判断a3+b3与a2b+ab2的大小，并证明你的结论

已知a＞0，b＞0，判断a3+b3与a2b+ab2的大小，并证明你的结论．

Answer 1

证明：法一：（分析法）
要证a²+b²＞a²b+ab²成立，
只需证（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立
又因为a＞0，
只需证a²-ab+b²＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）²＞0显然成立，
由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，
∴a-b≠0
∴a²-2ab+b²＞0
∴a²-ab+b²＞ab（*）
而a，b均为正数，
∴a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）
∴a³+b³＞a²b+ab²．
法三：比较法（作差）
（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a³-a²b）+（b³-ab²）

＝a2(a?b)+b2(b?a) ＝(a2?b2)(a?b)＝(a+b)(a?b)2

…（4分）
又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，而（a-b）²≥0．
∴（a+b）（a-b）²≥0．…（6分）
故（a³+b³）-（a²b+ab²）≥0即a³+b³≥a²b+ab²…（8分）