Question

设函数f（x）=x2?ax+5a(x≥2)ax+5(x＜2)（a为常数），（1）对任意x1，x2∈R，当 x1≠x2时，f(x1)?f(x2)x1

设函数f（x）=x2?ax+5a(x≥2)ax+5(x＜2)（a为常数），（1）对任意x1，x2∈R，当 x1≠x2时，f(x1)?f(x2)x1?x2＞0，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，求g（x）=x2-4ax+3在区间[1，3]上的最小值h（a）．

Answer 1

（1）对任意x₁，x₂∈R，当 x₁≠x₂时，

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞0，
则函数f（x）在R上递增，即有a＞0①，

a

2

≤2②，2a+5≤2²-2a+5③
则由①②③，解得1≤a≤4；
（2）g（x）=x²-4ax+3=（x-2a）²+3-4a²，对称轴x=2a，
由（1）得，2≤2a≤8，
①当2≤2a≤3即1≤a≤

3

2

时，g（x）_min=g（2a）=3-4a²，
②当3＜2a≤8即

3

2

＜a≤4时，区间[1，3]为减区间，则g（x）_min=g（3）=12-12a．
故h（a）=

3?4a2，1≤a≤ 3 2 12?12a， 3 2 ＜a≤4

．